【結論】
理由は不明だがキャッシュディレクトリの所有者がroot:rootになっており、メール送信ジョブを実行しているgitユーザに書き込み権がなかった。所有者をgit:gitにしてしまうことで解決を見た。
参照：https://gitlab.com/gitlab-org/gitlab-ce/issues/17072
chown -R git:git /opt/gitlab/embedded/service/gitlab-rails/tmp/cache/assets/sprockets
【結論に至るまでのログ調査】
cat /var/log/gitlab/gitlab-rails/production.log
Performed ActionMailer::DeliveryJob from Sidekiq(mailers)
→Sidekiqというのがメールを送っているもよう。
cat /var/log/gitlab/sidekiq/current
2016-07-26_11:07:05.38031 2016-07-26T11:07:05.380Z 16609 TID-2phxdk WARN: Errno::EACCES: Permission denied @ utime_internal - /opt/gitlab/embedded/service/gitlab-rails/tmp/cache/assets/sprockets/v3.0/B_/B_Ek-epoCB-（略）.cache
→権限がない。
【問題が再現する環境について】
gitlab-ceを8.6.7あたりから yum update し続けてきた環境。初期のインストール自体は
https://about.gitlab.com/downloads/#centos6
に従ってそのまま。
※検証のためにまっさらの状態からインストールしたgitlab8.10.1はなぜかメール認証を省略する動作をしていた。これはこれで怪しいのだけど、忘れることにする。
